HDOJ 4609

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题目

从N个数中选3个，能组成三角形的方案数有多少。

数据范围

$3\leq N \leq 10^5$

$1\leq 数的大小 \leq 10^5$

做法

因为数的大小不超过$10^5$，所以可以用num[i]表示长度为i的数有多少个。用FFT求出num数组与自身的卷积，此卷积的第i个数即是“任意取2个数，长度为i的方案数”。而这里面包含了同一个数选2次的方案，要减去。这里面第一次选a和第二次选b与第一次选b和第二次选a算做了不同的方案，所以要将所有方案数/2。

将原来的数组排序，从小到大枚举每个数作为选择的三个数中最右边的数，不断累加答案。假设此时枚举到$a_i$，那么我们要求的就是它左边的数选2个有多少种选法使得两数之和大于$a_i$。而通过FFT的预处理，我们可以知道当2个数的位置没有要求时，和大于$a_i$的方案数为$\sum_{i>a_i}卷积[i]$,这个可以通过前缀和O(1)得到。我们只要从中减去位置不合法的方案数即可。

不合法的位置有以下几种：

  1. 2个数都在$a_i​$右边
  2. 1个在左，1个在右
  3. 1个就是$a_i$，另一个随意

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_NUM = 1e5 + 5;
const int MAX_N = 1e5 + 5;
const double PI = acos(-1.0);
struct Complex
{
  double x, y;
  Complex(double x_ = 0.0, double y_ = 0.0)
  {
    x = x_;
    y = y_;
  }
  Complex operator - (const Complex &b) const
  {
    return Complex(x - b.x, y - b.y);
  }
  Complex operator + (const Complex &b) const
  {
    return Complex(x + b.x, y + b.y);
  }
  Complex operator * (const Complex &b) const
  {
    return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
  }
};
int N;
int a[MAX_N];
ll num[MAX_NUM << 2];
ll sum[MAX_NUM << 2];
Complex x[MAX_NUM << 2];
void change(Complex y[], int len)
{
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; ++i) {
    if (i < j) swap(y[i], y[j]);
    int k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j -= k;
      k /= 2;
    }
    if (j < k) j += k;
  }
}
void fft(Complex y[], int len, int on)
{
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
    Complex wn(cos(-on * 2 * PI / h), sin(-on * 2 * PI / h));
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);
      for (int k = j; k < j + h / 2; ++k) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;
        y[k + h / 2] = u - t;
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; ++i) y[i].x /= len;
  }
}
int main()
{
  int T; cin >> T;
  while (T--) {
    scanf("%d", &N);
    memset(num, 0, sizeof num);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
      scanf("%d", &a[i]);
      ++num[a[i]];
    }
    sort(a, a + N);
    int len = 1;
    int len1 = a[N - 1] + 1;
    while (len < len1 * 2) len <<= 1;
    for (int i = 0; i < len1; ++i) x[i] = Complex(num[i], 0);
    for (int i = len1; i < len; ++i) x[i] = Complex(0, 0);
    fft(x, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; ++i) x[i] = x[i] * x[i];
    fft(x, len, -1);
    for (int i = 0; i < len; ++i) num[i] = (ll)(x[i].x + 0.5);
    for (int i = 0; i < N; ++i) num[a[i] + a[i]]--;
    len = 2 * a[N - 1];
    for (int i = 1; i <= len; ++i) num[i] /= 2;
    sum[len + 1] = 0;
    for (int i = len; i >= 1; --i) sum[i] = sum[i + 1] + num[i];
    ll ans = 0;
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
      ans += sum[a[i] + 1];
      ll nl = i, nr = N - 1 - i;
      ans -= nr * (nr - 1) / 2;
      ans -= N - 1;
      ans -= nl * nr;
    }
    double tot = (double)N * (N - 1) * (N - 2) / 6;
    printf("%.7f\n", ans / tot);
  }
  return 0;
}

注意

  1. FFT的数组要开4倍原数组的大小
  2. 当有$10^5$个相同的数时，做卷积的结果会爆int，需要用long long。