ARC-081-F

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题目

给一个$N\times M$的方格网络，有些格子是黑的，其他的是白的。你可以做选一行或者一列，将其颜色取反。操作可以做无限次。问：能得到的最大的全黑的矩形面积是多少。

数据范围

$2\leq N,M\leq 2000$

做法

对于$2\times 2$的正方形，如果内部有1个或者3个白的，那么称它为“坏的”。显然，坏的正方形不论怎么变换，仍将是坏的。所以，最后的长方形里面，一定不含有坏的正方形。显然，我们可以将长方形的最上一行和最左一列变成黑的。由于“好的”正方形，经过变换之后，一定还是好的，所以我们可以从长方形的边界推出，长方形可以变成全黑。于是，一个长方形能作为最后选择的长方形，等价条件是它不包含有坏的正方形。

将坏的正方形的中心标记为p，则问题转化为框出一个不包含p的最大的正方形，这是一个经典问题，可用悬线法$O(N\times M)$做出。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 2000 + 5;
int N, M;
char s[MAX_N];
int maze[MAX_N][MAX_N];
int b[MAX_N][MAX_N];
int l[MAX_N], r[MAX_N], h[MAX_N];
inline int check(int x, int y)
{
  return maze[x][y] ^ maze[x - 1][y - 1] ^ maze[x][y - 1] ^ maze[x - 1][y];
}
int main()
{
  scanf("%d%d", &N, &M);
  for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    scanf("%s", s + 1);
    for (int j = 1; j <= M; ++j) {
      if (s[j] == '#') maze[i][j] = 1;
    }
  }
  for (int i = 2; i <= N; ++i) {
    for (int j = 2; j <= M; ++j) {
      b[i][j] = check(i, j);
    }
  }
  for (int i = 1; i <= M + 1; ++i) {
    h[i] = 0;
    l[i] = 1;
    r[i] = M + 1;
  }
  int ans = 0;
  for (int i = 2; i <= N + 1; ++i) {
    int ll = 1, rr = M + 1;
    for (int j = 1; j <= M + 1; ++j) {
      if (b[i - 1][j] == 1) {
        h[j] = 1;
        l[j] = 1;
        ll = j;
      } else {
        h[j] = h[j] + 1;
        l[j] = max(l[j], ll);
      }
    }
    for (int j = M + 1; j >= 1; --j) {
      if (b[i - 1][j] == 1) {
        r[j] = M + 1;
        rr = j;
      } else {
        r[j] = min(r[j], rr);
      }
      ans = max(ans, h[j] * (r[j] - l[j]));
    }
  }
  printf("%d\n", ans);
  return 0;
}