Codeforces 851E

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题目

给$N$个数${a_i}$，Alice和Bob轮流选进行最优操作。
一次操作定义为：取一个数$p^k(p为质数,k>0)$，这个数要求能被某个$a_i$整除。然后将这些数中整除$p^k$的数都除以$p^k$。
若不能选出一个这样的数$p^k$，则输。
Alice先手，问谁嬴。

数据范围

$1\le N \le 100 \quad 1\le a_i \le 10^9$

做法

发现：对不同质数而言，游戏是相互独立的。并且，对于不同质数，游戏满足SG组合游戏的性质。所以，整个游戏就是若干个SG组合游戏的游戏和，可以转为NIM游戏来做。
然后问题就变成了：求出每种质数$p$单独存在时的游戏的SG值。可以通过状态压缩来表示当前游戏的状态，以方便在状态间相互转移。具体实现为：用一个整数$mask$来压缩状态。若一个数$a$能被$p^k$整除但不能被$p^{k+1}$整除的时候，则置$mask$的第$k-1$位为1，即mask |= 1 << (k - 1)。对所有整除$p^k$的数都除以$p^k$可以实现为：newMask = (mask >> k) | (mask & ((1 << (k - 1)) - 1))。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 105;
int N, a[MAX_N];
vector<int> primes;
map<int, int> sg;
void dfs(int mask)
{
  if (sg.find(mask) != sg.end()) return;
  vector<int> mex(33, 0);
  for (int i = 1; mask >> (i - 1); ++i) {
    int newMask = (mask >> i) | (mask & ((1 << (i - 1)) - 1));
    dfs(newMask);
    mex[sg[newMask]] = 1;
  }
  int ret = 0;
  while (mex[ret] != 0) ++ret;
  sg[mask] = ret;
}
int main()
{
  cin >> N;
  for (int i = 0; i < N; ++i) {
    scanf("%d", &a[i]);
    int t = a[i];
    for (int j = 2; j * j <= t; ++j) {
      int cnt = 0;
      while (t % j == 0) {
        t /= j;
        ++cnt;
      }
      if (cnt) primes.push_back(j);
    }
    if (t != 1) primes.push_back(t);
  }
  sort(primes.begin(), primes.end());
  primes.erase(unique(primes.begin(), primes.end()), primes.end());
  sg[0] = 0;
  int ans = 0;
  for (int p : primes) {
    int mask = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
      int cnt = 0;
      while (a[i] % p == 0) {
        a[i] /= p;
        ++cnt;
      }
      if (cnt) mask |= 1 << (cnt - 1);
    }
    dfs(mask);
    ans ^= sg[mask];
  }
  puts(ans ? "Mojtaba" : "Arpa");
  return 0;
}

细节

在暴力求SG函数的时候，由于一个状态最多有30个后继，所以可以用反证法证明：每个状态的SG值不会超过30，于是dfs时的保存后继中出现过哪些SG值的数组开31就够了。