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题目

有$3$种颜色的点，分别有$a,b,c$个。你可以在任意两点之间连边，问：有多少种连边的方法，使得相同颜色的点的最小距离不小于$3$。答案对一个质数取模。

数据范围

$1\le a,b,c\le 5000$

做法

切入点：相同颜色的点的最小距离大于等于$3$，意味着同色点的距离不为$1$，也不为$2$。不为$1$表示相同颜色的点之间不能连边。不为$2$表示，对于任意一点，向某种不同颜色的点集连的边只能为$0$或者$1$条。所以，只要计算任意两种不同颜色之间连边的方案数，再乘起来，就是答案。

直接算

对于两种颜色，分别有$a,b(a \le b)$个点的点集之间，连$i$条边的方案数为$C_a^iC_b^ii!$。解释就是：在$a$个点中选$i$个点，在$b$个点中选$i$个点，作为$i$条边的端点，点选完之后，不同的连法有$i!$个，相当于固定$a$中所选的$i$个点，$b$中所选的$i$个点有多少种方法与$a$中的$i$个点对应，显然有$i!$种。所以，总的方案数为$ \sum_{ i =0 } ^a C_a^i C_b^i i!$。

DP递推

$dp[i][j]:=$两种颜色的点分别有$i$和$j$个，满足条件的连边的方案数。
对于$dp[i+1][j]$，考虑新增加的那个点的贡献：（1）连边时未用到新加的点，有$dp[i][j]$种。（2）用到了新加的点，在$j$中选择一个点和它相连，其余的点有$dp[i][j-1]$种，所以这种情况有$j\times dp[i][j-1]$种。所以，$DP$方程为：$dp[i+1][j]=dp[i][j]+j\times dp[i][j-1]$。边界条件为：$dp[0][i]=dp[i][0]=1$。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD = 998244353;
const int MAX_N = 5005;
ll fac[MAX_N], inv[MAX_N];
ll modPow(ll a, ll n)
{
  ll ans = 1;
  while (n > 0) {
    if (n & 1) ans = ans * a % MOD;
    n >>= 1;
    a = a * a % MOD;
  }
  return ans;
}
void init(int n)
{
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
  inv[n] = modPow(fac[n], MOD - 2);
  for (int i = n - 1; i >= 0; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
ll C(int n, int m)
{
  ll ans = fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
  return ans;
}
ll calc(int a, int b)
{
  ll ans = 0;
  if (a > b) swap(a, b);
  for (int i = 0; i <= a; ++i) {
    ans += C(a, i) * C(b, i) % MOD * fac[i] % MOD;
    ans %= MOD;
  }
  return ans;
}
int main()
{
  init(MAX_N - 1);
  int a, b, c;
  scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
  ll ans = 1;
  ans *= calc(a, b);
  ans %= MOD;
  ans *= calc(a, c);
  ans %= MOD;
  ans *= calc(b, c);
  ans %= MOD;
  printf("%I64d\n", ans);
  return 0;
}

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD = 998244353;
const int MAX_N = 5005;
ll dp[MAX_N][MAX_N];
int a, b, c;
void getDP(int n)
{
  for (int i = 0; i <= n; ++i) {
    dp[i][0] = dp[0][i] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
      dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + j * dp[i - 1][j - 1] % MOD) % MOD;
    }
  }
}
int main()
{
  getDP(MAX_N - 1);
  int a, b, c;
  scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
  ll ans = 1;
  ans *= dp[a][b];
  ans %= MOD;
  ans *= dp[a][c];
  ans %= MOD;
  ans *= dp[b][c];
  ans %= MOD;
  printf("%I64d\n", ans);
  return 0;
}